Persamaan Garis Singgung Kurva
Persamaan garis singgung kurva y = f(x) dititik T(x1, y1) dirumuskan sebagai
y – y1 = m(x – x1)
dimana m = f’(x1).
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini:
01. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 5x2 – 8x + 4 di titikT(2, 8)
Jawab
Titik singgung di T(2, 8), maka x1 = 2
Maka
m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12
02. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x3 – 6x2 + 4x + 11 di titikT(3, –4)
Jawab
Titik singgung di T(3, –4), maka x1 = 3 dan y1 = –4, sehingga
m = f’(x1)
m = 3x2 – 12x + 4
m = 3(3)2 – 12(3) + 4
m = 27 – 36 + 4
m = –5
Jadi
y – (–4) = –5(x – 3)
y + 4 = –5x + 15
y = –5x + 15 – 4
y = –5x + 11
03. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva f(x) = 2x3 – 4x2 di titik berabsis 2
Jawab
Diketahui x1 = 2 maka y1 = 2(2)3 – 4(2)2 = 16 – 16 = 0 sehingga
m = f’(x1)
m = 3x2 – 8x
m = 3(2)2 – 8(2)
m = 24 – 16
m = 8
Jadi
y – 0 = 8(x – 2)
y = 8x – 16
04. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x2 – 5x + 6 kalau gradien garis singgungnya ialah 3
Jawab
Diketahui f(x) = x2 – 5x + 6.
Jika m = 3 maka m = f ‘(x1) = 2x1 – 5
3 = 2x1 – 5
8 = 2x1 Jadi x1 = 4
y1 = (4)2 – 5(4) + 6 = 16 – 20 + 6 = 2
Sehingga y – y1 = m(x – x1)
y – 2 = 3(x – 4)
y – 2 = 3x – 12
y = 3x – 12 + 2
y = 3x – 10
05. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x3 – 3x2 – 5x + 10 kalau gradien garis singgungnya ialah 4
Jawab
Diketahui f(x) = x3 – 3x2 – 5x + 10.
Jika m = 4 maka m = f ‘(x) = 3x2 – 6x – 5
4 = 3x2 – 6x – 5
0 = 3x2 – 6x – 9
0 = x2 – 2x – 3
0 = (x – 3)( x + 2) Makara x1 = 3 atau x2 = –2
y1 = (3)3 – 3(3)2 – 5(3) + 10 = 27 – 27 – 15 + 10 = –5
y2 = (–2)3 – 3(–2)2 – 5(–2) + 10 = –8 – 12 + 10 + 10 = 0
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y – y1 = m(x – x1)
y – (–5) = 4(x – 3)
y = 4x – 17
PGS Kedua
y – y2 = m(x – x2)
y – 0 = 4(x – (–2))
y = 4x + 8
06. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 6x + 2 dititik yang berordinat –3
Jawab
Diketahui y = –3, maka –3 = x2 – 6x + 2
0 = x2 – 6x + 5
0 = (x – 5)(x – 1)
x1 = 5 atau x2 = 1
Graddiennya : f ‘(x) = 2x – 6
m1 = 2(5) – 6 = 4
m2 = 2(1) – 6 = –4
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y – y1 = m(x – x1)
y – (–3) = 4(x – 5)
y + 3 = 4x – 20
y = 4x – 23
PGS kedua
y – y2 = m(x – x2)
y – (–3) = –4(x – 1)
y + 3 = –4x + 4
y = –4x + 1
y – y1 = m(x – x1)
dimana m = f’(x1).
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini:
01. Tentukan gradien garis singgung kurva f(x) = 5x2 – 8x + 4 di titikT(2, 8)
Jawab
Titik singgung di T(2, 8), maka x1 = 2
Maka
m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12
02. Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x) = x3 – 6x2 + 4x + 11 di titikT(3, –4)
Jawab
Titik singgung di T(3, –4), maka x1 = 3 dan y1 = –4, sehingga
m = f’(x1)
m = 3x2 – 12x + 4
m = 3(3)2 – 12(3) + 4
m = 27 – 36 + 4
m = –5
Jadi
y – (–4) = –5(x – 3)
y + 4 = –5x + 15
y = –5x + 15 – 4
y = –5x + 11
03. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva f(x) = 2x3 – 4x2 di titik berabsis 2
Jawab
Diketahui x1 = 2 maka y1 = 2(2)3 – 4(2)2 = 16 – 16 = 0 sehingga
m = f’(x1)
m = 3x2 – 8x
m = 3(2)2 – 8(2)
m = 24 – 16
m = 8
Jadi
y – 0 = 8(x – 2)
y = 8x – 16
04. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x2 – 5x + 6 kalau gradien garis singgungnya ialah 3
Jawab
Diketahui f(x) = x2 – 5x + 6.
Jika m = 3 maka m = f ‘(x1) = 2x1 – 5
3 = 2x1 – 5
8 = 2x1 Jadi x1 = 4
y1 = (4)2 – 5(4) + 6 = 16 – 20 + 6 = 2
Sehingga y – y1 = m(x – x1)
y – 2 = 3(x – 4)
y – 2 = 3x – 12
y = 3x – 12 + 2
y = 3x – 10
05. Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x3 – 3x2 – 5x + 10 kalau gradien garis singgungnya ialah 4
Jawab
Diketahui f(x) = x3 – 3x2 – 5x + 10.
Jika m = 4 maka m = f ‘(x) = 3x2 – 6x – 5
4 = 3x2 – 6x – 5
0 = 3x2 – 6x – 9
0 = x2 – 2x – 3
0 = (x – 3)( x + 2) Makara x1 = 3 atau x2 = –2
y1 = (3)3 – 3(3)2 – 5(3) + 10 = 27 – 27 – 15 + 10 = –5
y2 = (–2)3 – 3(–2)2 – 5(–2) + 10 = –8 – 12 + 10 + 10 = 0
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y – y1 = m(x – x1)
y – (–5) = 4(x – 3)
y = 4x – 17
PGS Kedua
y – y2 = m(x – x2)
y – 0 = 4(x – (–2))
y = 4x + 8
06. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x2 – 6x + 2 dititik yang berordinat –3
Jawab
Diketahui y = –3, maka –3 = x2 – 6x + 2
0 = x2 – 6x + 5
0 = (x – 5)(x – 1)
x1 = 5 atau x2 = 1
Graddiennya : f ‘(x) = 2x – 6
m1 = 2(5) – 6 = 4
m2 = 2(1) – 6 = –4
Sehingga terdapat dua garis singgung, yakni :
PGS pertama
y – y1 = m(x – x1)
y – (–3) = 4(x – 5)
y + 3 = 4x – 20
y = 4x – 23
PGS kedua
y – y2 = m(x – x2)
y – (–3) = –4(x – 1)
y + 3 = –4x + 4
y = –4x + 1