Aplikasi Barisan Dan Deret
Salah satu apliksai barisan dan deret pada bidang ekonomi yaitu pada perhitungan bunga pada simpanan uang di bank atau koperasi atau forum lain sejenisnya. Terdapat dua macam jenis bunga pada simpanan, yaitu :
(1) Bunga Tunggal (Barisan Aritmatika)
Yaitu metoda kontribusi imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan modal pokok pinjaman atau modal awal simpanan saja.
Rumus bunga tunggal:
Mn = Mo (1 + in)
Dimana :
Mn = Nilai modal simpanan periode ke-n
Mo = Nilai modal awal simpanan
i = Persentase bunga simpanan
n = Periode pembungaan
(2) Bunga Majemuk (Barisan geometri)
Yaitu metoda kontribusi imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan besar modal atau simpanan pada periode bunga berjalan
Rumus bunga majemuk:
Mn = Mo (1 + i)n
Dimana :
Mn = Nilai modal simpanan sesudah periode ke-n
Mo = Nilai modal awal simpanan
i = Persentase bunga simpanan
n = Periode pembungaan
Untuk lebih jelasnya, ikutilah pola soal berikut ini :
01. Pak Ahmad memerlukan embel-embel modal untuk usahanya berdagang makanan, sehingga ia meminjam uang dikoperasi “Maju Jaya” sebesar Rp. 4.000.000 dengan imbalan jasa berupa bunga sebesar 2% dari pokok pinjaman per bulan. Jika pak Ahmad akan melunasi pinjaman itu beserta bunganya sesudah 6 bulan, maka tentukanlah total pengembalian pak Ahmad
Jawab
Diketahui :
Mo = 40.000.000
i = 2% = 0,02
n = 6
maka
Mn = Mo (1 + in)
M6 = 40.000.000(1 + 0,02(6))
M6 = 40.000.000(1,12)
M6 = 4.480.000
Kaprikornus total pengembalian pak Ahmad yaitu Rp. 4.480.000,-
02. Arman menabung sejumlah uang disebuah bank. Jenis tabungan yang dipilih Arman yaitu tabungan dengan sistem bunga tunggal sebesar 3% per caturwulan. Jika sesudah 3 tahun tabungan Arman menjadi Rp. 25.400.000 maka tentukanlah besar tabungan awal Arman di bank itu
Jawab
Kaprikornus besar tabungan awal Arman di bank itu yaitu Rp. 20.000.000,-
03. Pak Budi menabung sebesar Rp. 8.000.000 di suatu bank. Jika bank memberlakukan sistem bunga tunggal sebesar 3% setiap triwulan, maka sesudah berapa lamakah uang tabungan pak Budi menjadi Rp. 10.400.000
Jawab
Diketahui :
Mo = 8.000.000
i = 3% = 0,03
Mn = 10.400.000
maka
Mn = Mo (1 + in)
10.400.000 = 8.000.000 (1 + 0,03n)
10.400.000 = 8.000.000 + 240.000n
2.400.000 = 240.000n
n = 240.000/2.400.000
n = 10
sehingga n = 10 triwulan = (10x3) bulan = 30 bulan = 2,5 tahun
04. Pak Mulyo yaitu seorang pengusaha batik. Ia menyimpan uangnya sebesar Rp. 100.000.000 di sebuah bank. Bank tersebut memperlihatkan bunga tabungan dengan sistem bunga beragam sebesar 12% per bulan. Berapakah besarnya tabungan pak Mulyo sesudah 5 bulan ?
Jawab
Diketahui : Mo = 100.000.000
i = 12% = 0,12
n = 5
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 + i)n
M10 = 100.000.000 (1 + 0,12)5
M10 = 100.000.000 (1,12)5
M10 = 100.000.000.(1,762)
M10 = 176.200.000
05. Santi menyimpan uangnya di sebuah bank sebesar Rp. 2.000.000. Setelah tiga tahun uang tabungan Santi menjadi Rp. 2.662.000. Jika bank tersebut menerapkan sistem bunga beragam , berapa persenkah per-tahun bunga bank tersebut ?
Jawab
Diketahui : Mo = 2.000.000
Mn = 2.662.000
n = 3
Ditanya : i = …. ?
Jawab
Rumus Pertumbuhan geometri :
Mn = Mo (1 + p)n atau Mn = Mo . rn
Dimana :
Mn = Jumlah/Nilai suatu objek sesudah n waktu
Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula
i = Persentase pertumbuhan
r = Ratio pertumbuhan (r > 1)
n = jangka waktu pertumbuhan
Untuk lebih jelasnya, ikutilah pola soal berikut ini :
01. Elsa mulai bekerja pada suatu perusahaan pada awal tahun 2005 dengan honor permulaan sebesar Rp. 3.000.000. Jika beliau mendapat kenaikan honor secara bersiklus setiap tahunnya sebesar Rp. 200.000 maka berapakah honor yang diterima Elsa pada awal tahun 2011?
Jawab
Diketahui :
Mo = 3.000.000
b = 200.000
n = 6
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo + bn
Mn = 3.000.000 + 200.000(6)
Mn = 3.000.000 + 1.200.000
Mn = Rp. 4.200.000
02. Suatu koloni basil akan membelah menjadi dua setiap lima menit. Jika pada permulaan trdapat 90 bakteri, maka tentukanlah jumlah basil sesudah setengah jam ?
Jawab
Diketahui :
Mo = 90
r = 2
n = 4
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo . rn
Mn = 90 x 42
Mn = 90 (16)
Mn = 1440 bakteri
03. Jumlah penduduk suatu kota bertambah berdasarkan pola geometri sebesar 0,1% per bulan. Berarti bila jumlah penduduk kota itu semula 3 juta orang maka pada final bulan ke-3 jumlahnya telah menjadi sekitar … orang
Jawab
Diketahui :
Mo = 3.000.000
i = 0,1% = 0,001
n = 3
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 + i)n
M3 = 3.000.000 (1 + 0,001)3
M3 = 3.000.000 (1,001)3
M3 = 3.000.000(1,003003)
M3 = 3.009.009 orang
Rumus Peluruhan aritmatika :
Mn = Mo (1 – in) atau Mn = Mo – bn
Dimana :
Mn = Jumlah/Nilai suatu objek sesudah n waktu
Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula
p = Persentase peluruhan
b = Nilai beda peluruhan
n = jangka waktu peluruhan
Rumus Peluruhan geometri :
Mn = Mo (1 – p)n atau Mn = Mo . rn
Dimana :
Mn = Jumlah/Nilai suatu objek sesudah n waktu
Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula
i = Persentase peluruhan
r = Ratio peluruhan (r < 1)
n = jangka waktu peluruhan
Untuk lebih jelasnya, ikutilah pola soal berikut ini :
04. Sebuah kendaraan beroda empat dibeli dengan harga Rp.200.000.000. Jika setiap tahun harganya mengalami penyusutan 20% dari nilai tahun sebelumnya, maka tentukanlah harga kendaraan beroda empat itu sesudah digunakan selama 5 tahun
Jawab
Diketahui :
Mo = 200.000.000
i = 20% = 0,2
n = 5
Ditanya :
Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 – i)n
Mn = 200.000.000 (1 – 0,2)5
Mn = 200.000.000 (0,8)5
Mn = 200.000.000(0,32768)
Mn = 65.536.000
05. Suatu pabrik kendaraan bermotor roda dua mulai memproduksi pertama pada tahun 2010 sebanyak 20.000 unit kendaraan. Tiap tahun produksi pabrik tersebut turun 100 unit. Berapakah jumlah produksi pada tahun 2016?
Jawab
Diketahui :
Mo = 20.000
b = 100
n = 6
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo – bn
Mn = 20.000 – 100(6)
Mn = 20.000 – 600
Mn = 19.400 unit
06. Suatu jenis binatang langka setiap tahun mengalami penurunan jumlah populasi sebanyak 1/3 dari jumlah populasi tahun sebelumnya. Jika pada tahun 2015 diperkirakan jumlah populasi binatang tersebut disuatu pulau sebanyak 720 ekor, maka berapakah asumsi jumlah binatang itu pada tahun 2019 ?
Jawab
Diketahui : Mo = 360
r = 1/4
n = 4
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab Mn = Mo . rn
Mn = 360 x 4(1/3)4
Mn = 360 x (1/81)
Mn = 14,44 = 14 ekor
07. Dengan pesatnya pembangunan pemukiman, maka tempat pesawahan semakin usang semakin sempit. Menurut data statistik, pada tahun 2003 total areal sawah di tempat itu sekitar 400 ha dan setiap tahun berkurang 5% dari total areal sawah semula . Berapakah diperkirakan areal sawah pada tahun 2015?
Jawab
Diketahui :
Mo = 400
i = 5% = 0,05
n = 12
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 – in)
Mn = 400(1 – 0,05x12)
Mn = 400(1 – 0,6)
Mn = 400(0,4)
Mn = 160 ha
(1) Bunga Tunggal (Barisan Aritmatika)
Yaitu metoda kontribusi imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan modal pokok pinjaman atau modal awal simpanan saja.
Rumus bunga tunggal:
Mn = Mo (1 + in)
Dimana :
Mn = Nilai modal simpanan periode ke-n
Mo = Nilai modal awal simpanan
i = Persentase bunga simpanan
n = Periode pembungaan
(2) Bunga Majemuk (Barisan geometri)
Yaitu metoda kontribusi imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan besar modal atau simpanan pada periode bunga berjalan
Rumus bunga majemuk:
Mn = Mo (1 + i)n
Dimana :
Mn = Nilai modal simpanan sesudah periode ke-n
Mo = Nilai modal awal simpanan
i = Persentase bunga simpanan
n = Periode pembungaan
Untuk lebih jelasnya, ikutilah pola soal berikut ini :
01. Pak Ahmad memerlukan embel-embel modal untuk usahanya berdagang makanan, sehingga ia meminjam uang dikoperasi “Maju Jaya” sebesar Rp. 4.000.000 dengan imbalan jasa berupa bunga sebesar 2% dari pokok pinjaman per bulan. Jika pak Ahmad akan melunasi pinjaman itu beserta bunganya sesudah 6 bulan, maka tentukanlah total pengembalian pak Ahmad
Jawab
Diketahui :
Mo = 40.000.000
i = 2% = 0,02
n = 6
maka
Mn = Mo (1 + in)
M6 = 40.000.000(1 + 0,02(6))
M6 = 40.000.000(1,12)
M6 = 4.480.000
Kaprikornus total pengembalian pak Ahmad yaitu Rp. 4.480.000,-
02. Arman menabung sejumlah uang disebuah bank. Jenis tabungan yang dipilih Arman yaitu tabungan dengan sistem bunga tunggal sebesar 3% per caturwulan. Jika sesudah 3 tahun tabungan Arman menjadi Rp. 25.400.000 maka tentukanlah besar tabungan awal Arman di bank itu
Jawab
03. Pak Budi menabung sebesar Rp. 8.000.000 di suatu bank. Jika bank memberlakukan sistem bunga tunggal sebesar 3% setiap triwulan, maka sesudah berapa lamakah uang tabungan pak Budi menjadi Rp. 10.400.000
Jawab
Diketahui :
Mo = 8.000.000
i = 3% = 0,03
Mn = 10.400.000
maka
Mn = Mo (1 + in)
10.400.000 = 8.000.000 (1 + 0,03n)
10.400.000 = 8.000.000 + 240.000n
2.400.000 = 240.000n
n = 240.000/2.400.000
n = 10
sehingga n = 10 triwulan = (10x3) bulan = 30 bulan = 2,5 tahun
04. Pak Mulyo yaitu seorang pengusaha batik. Ia menyimpan uangnya sebesar Rp. 100.000.000 di sebuah bank. Bank tersebut memperlihatkan bunga tabungan dengan sistem bunga beragam sebesar 12% per bulan. Berapakah besarnya tabungan pak Mulyo sesudah 5 bulan ?
Jawab
Diketahui : Mo = 100.000.000
i = 12% = 0,12
n = 5
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 + i)n
M10 = 100.000.000 (1 + 0,12)5
M10 = 100.000.000 (1,12)5
M10 = 100.000.000.(1,762)
M10 = 176.200.000
05. Santi menyimpan uangnya di sebuah bank sebesar Rp. 2.000.000. Setelah tiga tahun uang tabungan Santi menjadi Rp. 2.662.000. Jika bank tersebut menerapkan sistem bunga beragam , berapa persenkah per-tahun bunga bank tersebut ?
Jawab
Diketahui : Mo = 2.000.000
Mn = 2.662.000
n = 3
Ditanya : i = …. ?
Jawab
Aplikasi lain dari barisan dan deret yaitu pada pertumbuhan dan peluruhan
(1) Pertumbuhan yaitu bertambahnya jumlah / nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmatika atau geometri.
Contoh :
(a) Perkembangbiakan bakteri
(b) Pertumbuhan penduduk
(2) Peluruhan yaitu berkurangnya jumlah / nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmatika atau geometri
Contoh :
(a) Penurunan nilai jual mobil
(b) Penurunan jumlah populasi hewan
Rumus Pertumbuhan aritmatika :
Mn = Mo (1 + pn) atau Mn = Mo + bn
Dimana :
Mn = Jumlah/Nilai suatu objek sesudah n waktu
Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula
p = Persentase pertumbuhan
b = Nilai beda pertumbuhan
n = jangka waktu pertumbuhan
Rumus Pertumbuhan geometri :
Mn = Mo (1 + p)n atau Mn = Mo . rn
Dimana :
Mn = Jumlah/Nilai suatu objek sesudah n waktu
Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula
i = Persentase pertumbuhan
r = Ratio pertumbuhan (r > 1)
n = jangka waktu pertumbuhan
Untuk lebih jelasnya, ikutilah pola soal berikut ini :
01. Elsa mulai bekerja pada suatu perusahaan pada awal tahun 2005 dengan honor permulaan sebesar Rp. 3.000.000. Jika beliau mendapat kenaikan honor secara bersiklus setiap tahunnya sebesar Rp. 200.000 maka berapakah honor yang diterima Elsa pada awal tahun 2011?
Jawab
Diketahui :
Mo = 3.000.000
b = 200.000
n = 6
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo + bn
Mn = 3.000.000 + 200.000(6)
Mn = 3.000.000 + 1.200.000
Mn = Rp. 4.200.000
02. Suatu koloni basil akan membelah menjadi dua setiap lima menit. Jika pada permulaan trdapat 90 bakteri, maka tentukanlah jumlah basil sesudah setengah jam ?
Jawab
Diketahui :
Mo = 90
r = 2
n = 4
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo . rn
Mn = 90 x 42
Mn = 90 (16)
Mn = 1440 bakteri
03. Jumlah penduduk suatu kota bertambah berdasarkan pola geometri sebesar 0,1% per bulan. Berarti bila jumlah penduduk kota itu semula 3 juta orang maka pada final bulan ke-3 jumlahnya telah menjadi sekitar … orang
Jawab
Diketahui :
Mo = 3.000.000
i = 0,1% = 0,001
n = 3
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 + i)n
M3 = 3.000.000 (1 + 0,001)3
M3 = 3.000.000 (1,001)3
M3 = 3.000.000(1,003003)
M3 = 3.009.009 orang
Rumus Peluruhan aritmatika :
Mn = Mo (1 – in) atau Mn = Mo – bn
Dimana :
Mn = Jumlah/Nilai suatu objek sesudah n waktu
Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula
p = Persentase peluruhan
b = Nilai beda peluruhan
n = jangka waktu peluruhan
Rumus Peluruhan geometri :
Mn = Mo (1 – p)n atau Mn = Mo . rn
Dimana :
Mn = Jumlah/Nilai suatu objek sesudah n waktu
Mo = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula
i = Persentase peluruhan
r = Ratio peluruhan (r < 1)
n = jangka waktu peluruhan
Untuk lebih jelasnya, ikutilah pola soal berikut ini :
04. Sebuah kendaraan beroda empat dibeli dengan harga Rp.200.000.000. Jika setiap tahun harganya mengalami penyusutan 20% dari nilai tahun sebelumnya, maka tentukanlah harga kendaraan beroda empat itu sesudah digunakan selama 5 tahun
Jawab
Diketahui :
Mo = 200.000.000
i = 20% = 0,2
n = 5
Ditanya :
Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 – i)n
Mn = 200.000.000 (1 – 0,2)5
Mn = 200.000.000 (0,8)5
Mn = 200.000.000(0,32768)
Mn = 65.536.000
05. Suatu pabrik kendaraan bermotor roda dua mulai memproduksi pertama pada tahun 2010 sebanyak 20.000 unit kendaraan. Tiap tahun produksi pabrik tersebut turun 100 unit. Berapakah jumlah produksi pada tahun 2016?
Jawab
Diketahui :
Mo = 20.000
b = 100
n = 6
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo – bn
Mn = 20.000 – 100(6)
Mn = 20.000 – 600
Mn = 19.400 unit
06. Suatu jenis binatang langka setiap tahun mengalami penurunan jumlah populasi sebanyak 1/3 dari jumlah populasi tahun sebelumnya. Jika pada tahun 2015 diperkirakan jumlah populasi binatang tersebut disuatu pulau sebanyak 720 ekor, maka berapakah asumsi jumlah binatang itu pada tahun 2019 ?
Jawab
Diketahui : Mo = 360
r = 1/4
n = 4
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab Mn = Mo . rn
Mn = 360 x 4(1/3)4
Mn = 360 x (1/81)
Mn = 14,44 = 14 ekor
07. Dengan pesatnya pembangunan pemukiman, maka tempat pesawahan semakin usang semakin sempit. Menurut data statistik, pada tahun 2003 total areal sawah di tempat itu sekitar 400 ha dan setiap tahun berkurang 5% dari total areal sawah semula . Berapakah diperkirakan areal sawah pada tahun 2015?
Jawab
Diketahui :
Mo = 400
i = 5% = 0,05
n = 12
Ditanya : Mn = …. ?
Jawab
Mn = Mo (1 – in)
Mn = 400(1 – 0,05x12)
Mn = 400(1 – 0,6)
Mn = 400(0,4)
Mn = 160 ha