Logaritma - Definisi, Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan
m4th-lab.net - Logaritma, Definisi, Sifat-sifat, Contoh soal dan Pembahasan
Pada tulisan ini saya akan membahas logaritma dari konsep dasar, termasuk definsi dan sifat-sifat logaritma lengkap dengan contoh soal dan pembahasan. Materi mengenai logaritma ini dipelajari di kelas X pada matematika peminatan (untuk kurikulum 2013 revisi).
Informasi : Tulisan ini memuat karakter matematika dalam bentuk latex yang tidak responsive untuk media mobile. Jika ada karakter matematika yang terpotong, sebaiknya buka laman ini via PC/Laptop, atau via smartphone dengan posisi landscape.
Definisi Logaritma
Logaritma sangat erat kaitannya dengan eksponen atau perpangkatan. Loritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan (eksponen). Biasanya logaritma kita gunakan untuk menyelesaikan permasalahan suatu persamaan yang pangkatnya tidak diketahui.
Pada materi eksponen kita telah mengetahui bentuk $\displaystyle a^x=b$ merupakan suatu bilangan berpangkat dengan $a$ sebagai basis (bilangan pokok), $x$ sebagai pangkat (eksponen) dan $b$ merupakan hasil perpangkatan yang disebut numerus.
Dalam materi logaritma ini, yang akan kita cari adalah nilai pangkat atau eksponennya. Misalnya $2^x=32$, berapa nilai $x$ yang memenuhi? dengan mudah bisa kita jawab $x=5$ karena $2^5=32$. Lalu bagaimana cara mencari nilai $x$ dari persamaan $3^x=7$? untuk mencari nilai $x$ dari persamaan tersebut kita akan kesulitan. Untuk menyatakan nilai $x$ dari persamaan tersebut kita memerlukan suatu "alat" atau operasi matematika yang disebut dengan logaritma. Logaritma ditemukan oleh seorang matematikawan asal skotlandia bernama John Napier. Untuk memahami lebih jelas mengenai logaritma, perhatikan definisi logaritma sebagai berikut:
Definisi Logaritma
Jika $a\gt 0$, $a\ne 1$, dan $b\gt 0$ maka:
Jika $a\gt 0$, $a\ne 1$, dan $b\gt 0$ maka:
$\displaystyle a^x=b \Leftrightarrow x= ^a\!\log{b}$
$a$ disebut basis (bilangan pokok), $b$ disebut numerus, dan $x$ hasil logaritma (pangkat)
Sebagai catatan, pada beberapa buku atau karya tulis ilmiah tertutama yang berasal dari luar indonesia, penulisan letak basis logaritma bisa berbeda yaitu $\log_a{b}$ dengan $a$ sebagai basis dan $b$ numerus. Untuk logaritma basis 10, maka basis tidak perlu ditulis, misalnya $^{10}\!\log 100$ cukup ditulis $\log 100$. Jika basis logaritma berupa konstanta euler $(e)$ maka penulisan logaritma $^e\! \log b=\ln b$ dengan $e\approx 2,7182818284\cdots$ disebut sebagai logaritma natural
Berdasarkan definisi di atas, kita dapat mengubah bentuk perpangkatan ke dalam bentuk logaritma dan sebaliknya, kita pun dapat mengubah bentuk logaritma ke dalam bentuk perpangkatan. Perhatikan contoh berikut:
Contoh 1
Nyatakan bentuk perpangkatan berikut dalam bentuk logaritma!
1). $\displaystyle 5^3=125$
2). $\displaystyle 2^3=8$
3). $\displaystyle 5^x=7$
4). $\displaystyle a^b=c$
5). $\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}=3$
Jawab
1). $\displaystyle 5^3=125\Leftrightarrow 3= ^5\!\log 125$
2). $\displaystyle 2^3=8\Leftrightarrow 3= ^2\!\log 8$
3). $\displaystyle 5^x=7 \Leftrightarrow x= ^5\!\log 7$
4). $\displaystyle a^b=c\Leftrightarrow b= ^a\!\log c$
5). $\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}=3\Leftrightarrow\frac{1}{2}= ^9 \!\log 3$
Contoh 1
Nyatakan tiap persamaan logaritma berikut dalam bentuk perpangkatan!
1). $\displaystyle ^4\log 64=3$
2). $\displaystyle ^p\log q=r $
Jawab
1). $\displaystyle ^4\log 64=3\Leftrightarrow 64=4^3$
2). $\displaystyle ^p\log q=r \Leftrightarrow q=p^r$
Contoh 3
Tentukan nilai $x$ dari tiap persamaan berikut!
1). $\displaystyle ^3\log x=4$
2). $\displaystyle ^x\log 16=2$
3). $\displaystyle ^2\log 64=x$
Jawab
$\begin{align*}\text{1). } ^3\log x=4\Leftrightarrow x&=3^4\\x&=81\end{align*}$
$\begin{align*}\text{2). }^x\log 16 =2 \Leftrightarrow 16&=x^2\\x&=4\end{align*}$
$\begin{align*}\text{3). }^2\log 64=x\Leftrightarrow 64&=2^x\\2^6&=2^x\\x&=6\end{align*}$
Contoh
Tentukan nilai dari $\displaystyle \frac{\log{5\sqrt{5}}+\log{\sqrt{3}}+\log 45}{\log {15}}$
Jawab:
$\begin{align*}\displaystyle \frac{\log{5\sqrt{5}}+\log{\sqrt{3}}+\log 45}{\log {15}}&=\frac{\log{\left(5\sqrt{5}\times\sqrt{3}\times 45\right)}}{\log 15}\\&=\frac{\log{225\sqrt{15}}}{\log{15}}\\&=^{15}\log{225\sqrt{15}}\\&=^{15}\log 225 +^{15}\log \sqrt{15}\\&=^{15}\log{15^2}+^{15}\log{15^{\frac{1}{2}}}\\&=2+\frac{1}{2}\\&=\frac{5}{2}\end{align*}$
Soal Latihan:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\frac{\left(^3\!\log 36\right)^2-\left(^3\!\log 4\right)^2}{^3\!\log\sqrt{12}}=$ ....
Selain beberapa persoalan di atas, masih banyak lagi disiplin ilmu lain yang memanfaatkan konsep logaritma. Untuk itu konsep ini sangat penting untuk kita pelajari.
Demikianlah pemaparan mengenai logaritma, meliputi definisi, sifat-sifat dan beberapa contoh soal dilengkapi pembahasan. Semoga bermanfaat
Berdasarkan definisi di atas, kita dapat mengubah bentuk perpangkatan ke dalam bentuk logaritma dan sebaliknya, kita pun dapat mengubah bentuk logaritma ke dalam bentuk perpangkatan. Perhatikan contoh berikut:
Contoh 1
Nyatakan bentuk perpangkatan berikut dalam bentuk logaritma!
1). $\displaystyle 5^3=125$
2). $\displaystyle 2^3=8$
3). $\displaystyle 5^x=7$
4). $\displaystyle a^b=c$
5). $\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}=3$
Jawab
1). $\displaystyle 5^3=125\Leftrightarrow 3= ^5\!\log 125$
2). $\displaystyle 2^3=8\Leftrightarrow 3= ^2\!\log 8$
3). $\displaystyle 5^x=7 \Leftrightarrow x= ^5\!\log 7$
4). $\displaystyle a^b=c\Leftrightarrow b= ^a\!\log c$
5). $\displaystyle 9^{\frac{1}{2}}=3\Leftrightarrow\frac{1}{2}= ^9 \!\log 3$
Contoh 1
Nyatakan tiap persamaan logaritma berikut dalam bentuk perpangkatan!
1). $\displaystyle ^4\log 64=3$
2). $\displaystyle ^p\log q=r $
Jawab
1). $\displaystyle ^4\log 64=3\Leftrightarrow 64=4^3$
2). $\displaystyle ^p\log q=r \Leftrightarrow q=p^r$
Contoh 3
Tentukan nilai $x$ dari tiap persamaan berikut!
1). $\displaystyle ^3\log x=4$
2). $\displaystyle ^x\log 16=2$
3). $\displaystyle ^2\log 64=x$
Jawab
$\begin{align*}\text{1). } ^3\log x=4\Leftrightarrow x&=3^4\\x&=81\end{align*}$
$\begin{align*}\text{2). }^x\log 16 =2 \Leftrightarrow 16&=x^2\\x&=4\end{align*}$
$\begin{align*}\text{3). }^2\log 64=x\Leftrightarrow 64&=2^x\\2^6&=2^x\\x&=6\end{align*}$
Sifat-sifat Logaritma
Sifat-sifat logaritma dapat digunakan untuk mengubah bentuk-bentuk suatu logaritma ke bentuk-bentuk yang diinginkan. Sifat-sifat tersebut sebagai berikut:
Perhatikan contoh soal dan pembahasan berikut ini: Sifat-sifat Logaritma
$\displaystyle ^a\log 1=0$
$\displaystyle ^a\log a=1$
$\displaystyle ^a\log b^n=n\times ^a\log b$
$\displaystyle {}^{a^m} \log b^n =\frac{n}{m}\times ^a\log b$
$\displaystyle ^a\log bc=^a\log b+^a\log c$
$\displaystyle ^a\log\frac{b}{c}=^a\log b-^a\log c$
$\displaystyle ^a\log b=\frac{1}{^b\log a}$
$\displaystyle ^a\!\log b .^b\!\log c .^c\!\log d=^a\!\log d$
$\displaystyle \frac{^a\!\log b}{^a\!\log c}=^c\!\log b$
$\displaystyle a^{^a\!\log b}=b$
$\displaystyle ^a\log 1=0$
$\displaystyle ^a\log a=1$
$\displaystyle ^a\log b^n=n\times ^a\log b$
$\displaystyle {}^{a^m} \log b^n =\frac{n}{m}\times ^a\log b$
$\displaystyle ^a\log bc=^a\log b+^a\log c$
$\displaystyle ^a\log\frac{b}{c}=^a\log b-^a\log c$
$\displaystyle ^a\log b=\frac{1}{^b\log a}$
$\displaystyle ^a\!\log b .^b\!\log c .^c\!\log d=^a\!\log d$
$\displaystyle \frac{^a\!\log b}{^a\!\log c}=^c\!\log b$
$\displaystyle a^{^a\!\log b}=b$
Contoh
Tentukan nilai dari $\displaystyle \frac{\log{5\sqrt{5}}+\log{\sqrt{3}}+\log 45}{\log {15}}$
Jawab:
$\begin{align*}\displaystyle \frac{\log{5\sqrt{5}}+\log{\sqrt{3}}+\log 45}{\log {15}}&=\frac{\log{\left(5\sqrt{5}\times\sqrt{3}\times 45\right)}}{\log 15}\\&=\frac{\log{225\sqrt{15}}}{\log{15}}\\&=^{15}\log{225\sqrt{15}}\\&=^{15}\log 225 +^{15}\log \sqrt{15}\\&=^{15}\log{15^2}+^{15}\log{15^{\frac{1}{2}}}\\&=2+\frac{1}{2}\\&=\frac{5}{2}\end{align*}$
Soal Latihan:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\frac{\left(^3\!\log 36\right)^2-\left(^3\!\log 4\right)^2}{^3\!\log\sqrt{12}}=$ ....
Jika ada bagian yang terpotong, sebaiknya buka laman ini melalui laptop/PC atau melalui smartphone dalam mode landscape.
$\begin{align*}\frac{\left(^3\!\log 36\right)^2-\left(^3\!\log 4\right)^2}{^3\!\log \sqrt{12}}&=\frac{\left(^3\!\log 36+^3\!\log 4\right)\left(^3\!\log 36-^3\!\log 4\right)}{^3\!\log\sqrt{12}}\\&=\frac{\left(^3\!\log 144\right)\left(^3\!\log 9\right)}{^3\!\log\sqrt{12}}\\&=\frac{^3\!\log144}{^3\!\log\sqrt{12}}\times ^3\!\log 9\\&=^\sqrt{12}\!\log 144\times 2\\&=^{12^{\frac{1}{2}}}\log{12^2}\times 2\\&=4\times 2\\&=8\end{align*}$
$\begin{align*}\frac{\left(^3\!\log 36\right)^2-\left(^3\!\log 4\right)^2}{^3\!\log \sqrt{12}}&=\frac{\left(^3\!\log 36+^3\!\log 4\right)\left(^3\!\log 36-^3\!\log 4\right)}{^3\!\log\sqrt{12}}\\&=\frac{\left(^3\!\log 144\right)\left(^3\!\log 9\right)}{^3\!\log\sqrt{12}}\\&=\frac{^3\!\log144}{^3\!\log\sqrt{12}}\times ^3\!\log 9\\&=^\sqrt{12}\!\log 144\times 2\\&=^{12^{\frac{1}{2}}}\log{12^2}\times 2\\&=4\times 2\\&=8\end{align*}$
Penerapan Logaritma
Konsep logaritma banyak diterapkan di berbagai cabang ilmu pengetahuan. Diantaranya:
Dalam fisika, salah satunya digunakan untuk menentukan kuat intensitas cahaya
Dalam bidang ekonomi, logaritma digunakan dalam perhitungan terkait persoalan bunga majemuk
Dalam bidang kimia, salahsatunya digunakan dalam menentukan derajat keasaman zat (pH)
Dalam bidang Biologi, digunakan dalam persoalan pertumbuhan bakteri
Dalam fisika, salah satunya digunakan untuk menentukan kuat intensitas cahaya
Dalam bidang ekonomi, logaritma digunakan dalam perhitungan terkait persoalan bunga majemuk
Dalam bidang kimia, salahsatunya digunakan dalam menentukan derajat keasaman zat (pH)
Dalam bidang Biologi, digunakan dalam persoalan pertumbuhan bakteri
Selain beberapa persoalan di atas, masih banyak lagi disiplin ilmu lain yang memanfaatkan konsep logaritma. Untuk itu konsep ini sangat penting untuk kita pelajari.
Demikianlah pemaparan mengenai logaritma, meliputi definisi, sifat-sifat dan beberapa contoh soal dilengkapi pembahasan. Semoga bermanfaat
Jika menginginkan tulisan ini dalam format pdf, silakan download melelui tombol di bawah ini: