Fungsi Eksponensial - Matematika Peminatan Kelas X
Pada tulisan ini kita akan belajar mengenai fungsi eksponensial. Pada kurikulum 2013 revisi materi ini dipelajari di kelas X pada matematika peminatan. Penerapan fungsi eksponensial banyak ditemui di berbagai bidang, seperti bidang ekonomi, fisika, biologi, pertanian, dan sebagainya. Jadi, materi ini sangat penting untuk kita pelajari.
Definisi Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memetakan setiap $\displaystyle x\in$ bilangan real ke $\displaystyle f(x)=a^x$ dengan $a\ne 1$ dan $a\gt 0$
Bentuk umum fungsi eksponensial adalah $\displaystyle y=f(x)=k a^x$ atau dapat ditulis $\displaystyle f:x\rightarrow ka^x$
Pada bentuk umum di atas, $x$ disebut sebagai variabel atau peubah bebas dengan domain $\displaystyle D=\left\{-\infty \lt x\lt \infty, x\in R \right\}$. $a$ disebut bilangan pokok atau basis, dengan syarat $a\gt 0$ dan $a\ne 1$. $y$ disebut sebagai variabel tak bebas dan $k$ disebut sebagai konstanta dengan $k\ne 0$.
Grafik Fungsi Eksponensial
Grafik fungsi eksponensial dengan bentuk $\displaystyle f(x)=k. a^x$ atau $\displaystyle y=k.a^x$ jika kita gambar pada diagram cartesius, maka:
Kurva akan monoton naik jika $a\gt 1$
Kurva akan monoton turun jika $0\lt a\lt 1$
Kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$
Sumbu $X$ merupakan Asimtot
Perhatikan gambar di bawah ini
Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $a\gt 1$
Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $1\lt a\lt 1$
Pada bentuk umum di atas, $x$ disebut sebagai variabel atau peubah bebas dengan domain $\displaystyle D=\left\{-\infty \lt x\lt \infty, x\in R \right\}$. $a$ disebut bilangan pokok atau basis, dengan syarat $a\gt 0$ dan $a\ne 1$. $y$ disebut sebagai variabel tak bebas dan $k$ disebut sebagai konstanta dengan $k\ne 0$.
Grafik Fungsi Eksponensial
Grafik fungsi eksponensial dengan bentuk $\displaystyle f(x)=k. a^x$ atau $\displaystyle y=k.a^x$ jika kita gambar pada diagram cartesius, maka:
Kurva akan monoton naik jika $a\gt 1$
Kurva akan monoton turun jika $0\lt a\lt 1$
Kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$
Sumbu $X$ merupakan Asimtot
Perhatikan gambar di bawah ini
Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $a\gt 1$
Dari gambar di atas, bisa kita lihat bahwa:
1). Kurva fungsi eksponenseial $y=f(x)=k.a^x$ dengan $k\ne 0$ dan $a>1$, kurva monoton naik, karena untuk setiap $x_1 \lt x_2$ maka $f(x_1)\lt f(x_2)$ atau dengan kata lain "ketika nilai $x$ semakin besar, maka nilai $y$ pun semakin besar, dan sebaliknya ketika $x$ semakin kecil, maka nilai $y$ pun semakin kecil".
2). Kurva fungsi eksponensial $y=f(x)=k.a^x$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$.
3). Sumbu $X$ sebagai asimtot, maksudnya untuk $x$ menuju $-\infty$ maka nilai $y$ semakin mendekati nol atau dengan kata lain kurva semakin mendekati sumbu $X$ namun tidak pernah memotong sumbu $X$.
Grafik Fungsi Eksponensial $y=k.a^x$ dengan $1\lt a\lt 1$
Dari gambar di atas, bisa kita lihat bahwa:
1). Kurva fungsi eksponenseial $y=f(x)=k.a^x$ dengan $k\ne 0$ dan $a>1$, kurva monoton turun, karena untuk setiap $x_1 \lt x_2$ maka $f(x_1)\gt f(x_2)$ atau dengan kata lain "ketika nilai $x$ semakin besar, maka nilai $y$ pun semakin kecil, dan sebaliknya ketika $x$ semakin kecil, maka nilai $y$ pun semakin besar".
2). Kurva fungsi eksponensial $y=f(x)=k.a^x$ memotong sumbu $Y$ di titik $(0, k)$.
3). Sumbu $X$ sebagai asimtot, maksudnya untuk $x$ menuju $\infty$ maka nilai $y$ semakin mendekati nol atau dengan kata lain kurva semakin mendekati sumbu $X$ namun tidak pernah memotong sumbu $X$.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh
Perhatikan gambar berikut:
Tentukan persamaan grafik fungsi pada gambar di atas!
Pembahasan:
Misal persamaan kurva adalah $y=ka^x$.
Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, 4)$ maka kita peroleh nilai $k=4$, sehingga persamaan kurva adalah $y=4a^x$
Pada gambar di atas, diketahui pula kurva melalui titik $(1, 8)$. Berdasarkan informasi tersebut, kita akan menentukan nilai $a$ dengan mensubstitusi titik $(1,8)$ terhadap fungsi $y=4a^x$, maka kita peroleh:
$\begin{align*}y&=4a^x\\8&=4a^1\\a&=2\end{align*}$
Dengan mensubstitusi nilai $k=4$ dan nilai $a=2$ terhadap persamaan $y=ka^x$ maka kita peroleh persamaan grafik fungsi sebagai berikut:
$\begin{align*}y&=4.2^x\\&=2^2.2^x\\&=2^{x+2}\end{align*}$
Maka persamaan grafik fungsi di atas adalah $\displaystyle y=2^{x+2}$
Demikian pembahasan singkat mengenai fungsi eksponensial, jika anda menginginkan artikel ini dalam format pdf silakan klik tombol download di bawah ini, semoga bermanfaat.
Contoh
Perhatikan gambar berikut:
Pembahasan:
Misal persamaan kurva adalah $y=ka^x$.
Pada gambar di atas, dapat kita lihat bahwa kurva memotong sumbu $Y$ di titik $(0, 4)$ maka kita peroleh nilai $k=4$, sehingga persamaan kurva adalah $y=4a^x$
Pada gambar di atas, diketahui pula kurva melalui titik $(1, 8)$. Berdasarkan informasi tersebut, kita akan menentukan nilai $a$ dengan mensubstitusi titik $(1,8)$ terhadap fungsi $y=4a^x$, maka kita peroleh:
$\begin{align*}y&=4a^x\\8&=4a^1\\a&=2\end{align*}$
Dengan mensubstitusi nilai $k=4$ dan nilai $a=2$ terhadap persamaan $y=ka^x$ maka kita peroleh persamaan grafik fungsi sebagai berikut:
$\begin{align*}y&=4.2^x\\&=2^2.2^x\\&=2^{x+2}\end{align*}$
Maka persamaan grafik fungsi di atas adalah $\displaystyle y=2^{x+2}$
Demikian pembahasan singkat mengenai fungsi eksponensial, jika anda menginginkan artikel ini dalam format pdf silakan klik tombol download di bawah ini, semoga bermanfaat.