Notasi Sigma - Konsep, Sifat-sifat, Contoh Soal dan Pembahasan
Salah satu ciri khas matematika penggunaan lambang yang singkat untuk menampilkan suatu ungkapan yang panjang, salah satunya adalah notasi sigma $\left( \sum \right)$.
Secara sederhana, sigma bisa kita artikan sebagai jumlah. Penggunaan notasi sigma sebagai operator penjumlahan sangat erat kaitannya dengan deret suatu bilangan. Notasi sigma dapat digunakan untuk menyederhanakan penulisan deret suatu bilangan terurut dengan pola tertentu dengan ringkas dan sederhana.
Bagaimana kita menulis ungkapan seperti di bawah ini?
- $2+4+6+8+10+\cdots+1000$
- $1+5+7+9+11+\cdots+2019$
- $1+9+16+25+36+...+1.000.00$
Dari contoh di atas, ternyata memang sangat memerlukan suatu notasi atau lambang untuk menyatakan penjumlahan teratur yang sangat panjang, yaitu dengan notasi sigma $\displaystyle\left(\sum\right)$ yang didefinisikan sebagai berikut:
$$\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k$$
Keterangan:
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ dibaca jumlah dari $a_k$ untuk $k$ dari 1 sampai $n$
$k$ disebut sebagai indeks (penunjuk) dari suku $a_k$
$a_k$ disebut sebagai suku ke-$k$
$k=1$ disebut sebagai batas bawah
$k=n$ desebut sebagai batas atas
Catatan:
indeks (penunjuk) tidak harus selalu menggunkan $k$, kita boleh menggunkan variabel lain, misal:
$\displaystyle\sum_{p=1}^{n} a_p$ atau $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i$ dan sebagainya
Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma
Contoh 1:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2$
Jawab:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2&=(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2+(4-1)^2\\&=0^2+1^2+2^2+3^2\\&=0+1+4+9\\&=14\end{align*}$
Contoh 2:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2$
Jawab:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{4}(k-1)^2&=(1-1)^2+(2-1)^2+(3-1)^2+(4-1)^2\\&=0^2+1^2+2^2+3^2\\&=0+1+4+9\\&=14\end{align*}$
Contoh 2:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)$
Jawab:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2i+1)=3+5+7+\cdots+21$
Perhatikan, deret tersebut merupakan deret aritmetika. Jadi, untuk menentukan jumlahnya akan lebih mudah jika kita gunakan rumus jumlah deret aritmetika $S_n=\frac{n}{2}(a+U_n)$ dengan $a$ suku pertama dan $U_n$ suku terakhir, maka:
$\begin{align*}\sum_{i=1}^{10}(2i+1)&=\frac{10}{2}(3+21)\\&=5(24)\\&=120\end{align*}$
Contoh 3:
Tentukan nilai dari $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$
Jawab:
Karena $\displaystyle\sum_{k=1}^{7}(3k-1)$ merupakan deret aritmetika, maka kita bisa menggunkan cara yang sama dengan contoh 2 di atas:
$\begin{align*}\sum_{k=1}^{7}(3k-1)&=\frac{7}{2}(2+20)\\&=\frac{7}{2}(22)\\&=77\end{align*}$
Menulis Deret Bilangan dalam Notasi Sigma
Contoh 1:
Tuliskan dalam notasi sigma:
$$4+5+6+7+8+\cdots+100$$
Jawab:
$\displaystyle 4+5+6+\cdots+100=\sum_{k=4}^{100}(a_k)$
Sifat-sifat Notasi Sigma
Berikut ini bebrapa sifat notasi sigma:
| No | Sifat Notasi Sigma |
|---|---|
| 1 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} C=n.C$ |
| 2 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}C.a_k=C\sum_{k=1}^{n}a_k$ |
| 3 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\left(\sum_{k=1}^{n-1}a_k\right)+a_n$ |
| 4 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k$ |
| 5 | $\displaystyle\sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m+p}^{n+p} a_{k-p}$ |
| 6 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=1}^{m}a_k+\sum_{m+1}^{n}a_k$ |
| 7 | $\displaystyle\sum_{k=n}^{n}a_k=a_n$ |
| 8 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-s}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=n-s+1}^{n}a_k$ |
| 9 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{0}a_k=0$ |
| 10 | $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)^2=\sum_{k=1}^{n}a_k^2\pm 2\sum_{k=1}^{n}a_k .b_k+\sum_{k=1}^{n}b_k^2$ |
Contoh Soal:
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{4} (3n+2)=3\left(\sum_{n=1}^{4}n\right)+8$
Jawab:
Ruas Kiri:
$\begin{align*}\sum_{n=1}^{4}(3n+2)&=\sum_{n=1}^{4}{3n}+\sum_{n=1}^{4}{2}\\&=3\sum_{n=1}^{4}{n}+4.2\\&=\left(3\sum_{n=1}^{4}{n}\right)+8\end{align*}$
Ruas kiri = ruas kanan, terbukti.
Demikianlah penjelasan singkat mengenai notasi sigma, semoga bermanfaat.
Dengan menggunakan sifat notasi sigma, buktikan bahwa $\displaystyle\sum_{n=1}^{4} (3n+2)=3\left(\sum_{n=1}^{4}n\right)+8$
Jawab:
Ruas Kiri:
$\begin{align*}\sum_{n=1}^{4}(3n+2)&=\sum_{n=1}^{4}{3n}+\sum_{n=1}^{4}{2}\\&=3\sum_{n=1}^{4}{n}+4.2\\&=\left(3\sum_{n=1}^{4}{n}\right)+8\end{align*}$
Ruas kiri = ruas kanan, terbukti.
Demikianlah penjelasan singkat mengenai notasi sigma, semoga bermanfaat.
Download file pdf artikel ini