Parabola
Parabola ialah kawasan kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap titik tertentu dan garis tertentu selalu sama. (karena e = 1)
Titik tersebut dinamakan fokus (F), dan garis tersebut dinamakan direktrik (d).
Terdapat dua macam bentuk parabola, yakni
1. Parabola horizontal
2. Parabola vertikal.
Secara lebih rinci, akan dijelaskan menjadi 4 bab sebagai berikut. (Rangkuman rumus ada dipaling bawah)
1. Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)
Parabola ini memiliki bentuk Umum:
y2 = 4px,
dimana Koordinat titik fokusnya di F(p, 0)
persamaan direktrisnya x = –p
Sumbu simetrisya ialah sumbu-x
Panjang latus rectum LR = 4p
Dengan catatan:
Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan
Jika p < 0 kurva membuka ke kiri
2. Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)
Parabola ini memiliki bentuk Umum:
x2 = 4py
dimana Koordinat titik fokusnya di F(0, p)
Persamaan direktrisnya y = –p
Sumbu simetrisya ialah sumbu-y
Panjang latus rectum LR = 4p
Catatan :
Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas
Jika p < 0 kurva membuka ke bawah
Untuk lebih jelasnya, ikutilah rujukan soal berikut ini:
01. Tentukan titik fokus, garis direktis, dan latus rectum dari parabola 3y2-24x=0
Jawab:
Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)
3y2 - 24x=0
3y2 = 24x
y2 = 8x
y2 = 4px
4p = 8
p = 2
Titik focus ialah (p,0), sehingga titik fokusnya (2,0).
Garis direktris ialah garis x = -p, sehingga persamaan garis direktrisnya x = -2
Panjang Latus rectum ialah 4p, sehingga Panjang latus rectumnya ialah 8
02. Tentukan titik fokus, garis direktis, dan latus rectum dari parabola 2x2+32y=0
Jawab:
Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)
2x2 + 32y = 0
2x2 = -32y
x2 = -16y
x2 = 4py
4p = -16
p = -4
Titik focus ialah (0,p), sehingga titik fokusnya (0,-4).
Garis direktris ialah garis y = -p, sehingga persamaan garis direktrisnya y=4
Panjang Latus rectum ialah |4p|, sehingga Panjang latus rectumnya ialah 16
03. Sebuah parabola dengan puncak di O(0,0) dan fokus pada sumbu-X serta melalui titik (2,8). Tentukanlah persamaan parabola tersebut.
Jawab:
Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)
Sehingga, bentuk umum persamaannya y2 = 4px
y2 = 4px
82 = 4p (2)
64 = 8p
p = 8
Makara persamaan parabola y2 = 4px, sehingga persamaan parabola y2 = 32x
04. Sebuah parabola dengan puncak di O(0,0) dan titik fokusnya di F(0,5). Tentukanlah persamaan parabola tersebut
Jawab:
Karena F(0,p) maka bentuk Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)
Sehingga, bentuk umum persamaannya x2 = 4py
Karena titik fokusnya di F(0,5), maka p=5
Makara persamaan parabola x2 = 4py, sehingga persamaan parabola x2 = 20y
RANGKUMAN
Terdapat dua macam bentuk parabola, yakni
1. Parabola horizontal
2. Parabola vertikal.
Secara lebih rinci, akan dijelaskan menjadi 4 bab sebagai berikut. (Rangkuman rumus ada dipaling bawah)
1. Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)
Parabola ini memiliki bentuk Umum:
y2 = 4px,
dimana Koordinat titik fokusnya di F(p, 0)
persamaan direktrisnya x = –p
Sumbu simetrisya ialah sumbu-x
Panjang latus rectum LR = 4p
Dengan catatan:
Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan
Jika p < 0 kurva membuka ke kiri
2. Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)
Parabola ini memiliki bentuk Umum:
x2 = 4py
dimana Koordinat titik fokusnya di F(0, p)
Persamaan direktrisnya y = –p
Sumbu simetrisya ialah sumbu-y
Panjang latus rectum LR = 4p
Catatan :
Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas
Jika p < 0 kurva membuka ke bawah
Untuk lebih jelasnya, ikutilah rujukan soal berikut ini:
01. Tentukan titik fokus, garis direktis, dan latus rectum dari parabola 3y2-24x=0
Jawab:
Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)
3y2 - 24x=0
3y2 = 24x
y2 = 8x
y2 = 4px
4p = 8
p = 2
Titik focus ialah (p,0), sehingga titik fokusnya (2,0).
Garis direktris ialah garis x = -p, sehingga persamaan garis direktrisnya x = -2
Panjang Latus rectum ialah 4p, sehingga Panjang latus rectumnya ialah 8
02. Tentukan titik fokus, garis direktis, dan latus rectum dari parabola 2x2+32y=0
Jawab:
Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)
2x2 + 32y = 0
2x2 = -32y
x2 = -16y
x2 = 4py
4p = -16
p = -4
Titik focus ialah (0,p), sehingga titik fokusnya (0,-4).
Garis direktris ialah garis y = -p, sehingga persamaan garis direktrisnya y=4
Panjang Latus rectum ialah |4p|, sehingga Panjang latus rectumnya ialah 16
03. Sebuah parabola dengan puncak di O(0,0) dan fokus pada sumbu-X serta melalui titik (2,8). Tentukanlah persamaan parabola tersebut.
Jawab:
Parabola Horizontal dengan Puncak O(0, 0)
Sehingga, bentuk umum persamaannya y2 = 4px
y2 = 4px
82 = 4p (2)
64 = 8p
p = 8
Makara persamaan parabola y2 = 4px, sehingga persamaan parabola y2 = 32x
04. Sebuah parabola dengan puncak di O(0,0) dan titik fokusnya di F(0,5). Tentukanlah persamaan parabola tersebut
Jawab:
Karena F(0,p) maka bentuk Parabola Vertikal dengan Puncak O(0, 0)
Sehingga, bentuk umum persamaannya x2 = 4py
Karena titik fokusnya di F(0,5), maka p=5
Makara persamaan parabola x2 = 4py, sehingga persamaan parabola x2 = 20y
3. Parabola Horizontal dengan Puncak M(a, b)
Bentuk Umum : (y – b)2 = 4p(x – a),
dimana Koordinat fokusnya di F(p+ a, b)
Persamaan direktrisnya x = –p + a
Persamaan sumbu simetrisya y = b
Panjang latus rectum LR = 4p
Dengan catatan :
Jika p > 0 maka kurva membuka ke kanan
Jika p < 0 kurva membuka ke kiri
4. Parabola Vertikal dengan Puncak M(a, b)
Parabola ini memiliki bentuk Umum : (x – a)2 = 4p(y – b),
dimana Koordinat fokusnya di F(a, p + b)
Persamaan direktrisnya y = –p + b
Persamaan sumbu simetrisya x = a
Panjang latus rectum AB = 4p
Dengan cataran
Jika p > 0 maka kurva membuka ke atas
Jika p < 0 kurva membuka ke bawah
Untuk lebih jelasnya, ikutilah rujukan soal berikut ini:
05. Tentukan klimaks dari parabola y2 + 2x – 6y + 11 = 0
Jawab
y2 + 2x – 6y + 11 = 0
y2 – 6y = –2x – 11
y2 – 6y + 9 = –2x – 11 + 9
(y – 3)2 = –2x – 2
(y – 3)2 = –2(x + 1)
Berdasarkan persamaan, bentuk parabola Horizontal
Makara titik pusatnya ialah (–1, 3)
06. Tentukan titik fokus dari parabola x2 + 10x – 8y + 41 = 0
Jawab
x2 + 10x – 8y + 41 = 0
x2 + 10x = 8x – 41
x2 + 10x + 25 = 8x – 41 + 25
(x + 5)2 = 8x + 16
(x + 5)2 = 8(x + 4)
Berdasarkan persamaan, bentuk parabola Vertikal
Sehingga a = –5 , b = –4 dan p = 2
Makara titik fokusnya ialah F(a, p + b) = F(–5, –4 + 2) = F(–5, –2)
07. Diketahui parabola x2 – 6x – 12y – 15 = 0. Persamaan sumbu simetrinya ialah …
Jawab
x2 – 6x – 12y – 15 = 0
x2 – 6x = 12y + 15
x2 – 6x + 9 = 12y + 15 + 9
(x – 3)2 = 12y + 24
(x – 3)2 = 12(y + 2) ,
Berdasarkan persamaan, bentuk parabola Vertikal
sehingga a = 3 , b = –2 dan p = 3
Makara Persamaan sumbu simetrinya ialah x = 3
08. Diketahui parabola (y – 4)2 = 2(x – 3). Persamaan garis direktrisnya ialah …
Jawab
(y – 4)2 = 2(x – 3)
Berdasarkan persamaan, bentuk parabola Horizontal
Maka a = 3 , b = 4 dan p = 1/2
Makara Persamaan direktrisnya ialah x = –p + a
y = –1/2 + 3
y = 5/2
09. Sebuah parabola dengan puncak di (3, –2) dan fokus di (4, –2). Tentukanlah persamaan parabola tersebut
Jawab
Berdasarkan puncak dan fokusnya, bentuk parabola Horizontal
Bentuk Umum : (y – b)2 = 4p(x – a)
Puncak di (3, –2), maka a = 3 dan b = –2
Fokus F(p + a, b) = F(p + 3, –2) = F(4, –2)
maka
p + 3 = 4
p = 1
Makara persamaan parabola :
(y + 2)2 = 4(1)(x – 3)
y2 + 4y + 4 = 4x – 12
y2 – 4x + 4y + 4 + 12 = 0
y2 – 4x + 4y + 16 = 0
10. Tentukanlah Persamaan parabola yang berpuncak di (4, 3), memiliki sumbu simetri x = 4 dan panjang latus rectum 8
Jawab
Berdasarkan puncak dan sumbu simetri, bentuk parabola Vertikal
Bentuk Umum : (x – a)2 = 4p(y – b)
Puncak di (4, 3), maka a = 4 dan b = 3
Panjang latus rectum = 8 = 4p maka p = 2
Makara persamaan parabola :
(x – 4)2 = 4(2)(y – 3)
x2 – 8x + 16 = 8y – 24
x2 – 8x – 8y + 16 + 24 = 0
x2 – 8x – 8y + 40 = 0
RANGKUMAN
