Barisan Dan Deret Aritmatika
Barisan yaitu kumpulan objek-obejek yang disusun berdasarkan pola tertentu. Objek pertama dinamakan suku pertama, objek kedua dinamakan suku kedua, objek ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya hingga objek ke-n dinamakan suku ke-n atau Un. Jika objek-objek tersebut berupa bilangan, maka bentuk penjumlahan dari objek-objek tersebut hingga n suku dinamakan deret.
Barisan aritmatika yaitu suatu barisan angka-angka dimana U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = … = Un – Un–1 = beda (merupakan angka yang tetap)
Sehingga :
(1) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 yaitu barisan aritmatika dengan beda 4
(2) 63, 58, 53, 48, … , 3 yaitu barisan aritmatika dengan beda -5
(3) 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + … + 50 yaitu deret aritmatika dengan beda 3
(4) 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + … yaitu deret aritmatika tak hingga dengan beda 2
Jika suku pertama suatu barisan aritmatika dinamakan a, maka diperoleh:
Kaprikornus suku ke-n barisan aritmatika dirumuskan :
Un = a + (n – 1)b
Sebagai pola diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, …
Maka suku ke-6 sanggup ditentukan dengan rumus :
U6 = a + (6 – 1)b = a + (6)b = 3 + (6)4 = 27
Untuk memilih rumus jumlah hingga suku ke-n, sanggup ditentukan dengan cara:
Jika suatu barisasn aritmatika diketahui n ganjil, maka suku tengah sanggup ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
Ut = ½ (a + Un)
Sebagai pola diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Jika barisan tersebut diteruskan hingga 15 suku, maka suku tengahnya sanggup ditentukan dengan rumus
Ut = ½ (a + Un) = ½ [a + U15] = ½ [3 + (3 + (15 – 1)4)] = ½[6 + 56] = 31
Selanjutnya kita juga sanggup merumuskan kekerabatan antara Un dan Sn , yakni :
Un = Sn – Sn–1
Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah pola soal berikut ini:
1. Diketahui barisan aritmatika 2, 7, 12, 17, 22, … Tentukanlah suku ke 15
Jawab
a = 2
b = 5
n = 15
maka
U15 = a + (15 – 1)b
U15 = 2 + (14)5
U15 = 2 + 70
U15 = 72
2. Diketahui deret aritmatika 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + … , tentukanlah Jumlah hingga 13 suku pertama
Jawab
Diketahui 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …
Maka
a = 4
b = 3
n = 13
Sehingga:
S13 = ½ (13) [2a+(6+1)b] = ½ (13) [2 . 4 + (13)3] = ½ (13) [44] = 286
3. Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke tiga yaitu 12 dan suku ke enam yaitu 27. Tentukanlah suku ke 9
Jawab
U3 = 12 → a + (3 – 1)b = 12 → a + 2b = 12 ………………………….. (1)
U6 = 27 → a + (6 – 1)b = 27 → a + 5b = 27 .. ….…………………….. (2)
sehingga a + 2(5) = 12 maka a = 2
Jadi
U9 = a + (9 – 1)b
U9 = 2 + (8)5
U9 = 42
4. Jika diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99 maka tentukanlah nilai x
Jawab
Diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99
Maka :
a = 3
b = 5 – 3 = 2
Sn = 99
Sehingga:
Sn = ½ n [2a+(n+1)b]
99 = ½ n [ 2(3) + (n – 1)2 ]
198 = n [ 6 + 2n – 2 ]
198 = n [ 4 + 2n ]
198 = 4n + 2n2
2n2 + 4n – 198 = 0
n2 + 2n – 99 = 0
(n – 9)(n + 11) = 0
n = 9
Jadi
x = U9
x = a + (9 – 1)b
x = 3 + (8)2
x = 19
5. Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus Sn = 2n2 + 4n, maka tentukanlah suku ke 5
Jawab
Sn = 2n2 + 4n
Maka
S5 = 2(5)2 + 4(5) = 50 + 20 = 70
S4 = 2(4)2 + 4(4) = 32 + 16 = 48
Kaprikornus U5 = S5 – S4 = 70 – 48 = 22
6. Andi selalu menabung di bank secara rutin setiap awal bulan sebesear Rp. 200.000,-. Jika pada pertengahan Januari 2012, Andi telah mempunyai uang Rp. 600.000 di bank tersebut, maka berapakah banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember ?
Jawab
Diketahui :
a = 600.000
b = 200.000
n = 11 (Dari Februari 2012 hingga Desember 2112 )
Maka U11 = a + (11 – 1)b = 600000 + (10)200000 = 2.600.000
Kaprikornus banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember yaitu Rp. 2.600.000
7. Suatu bioskop mempunyai 10 gugusan bangku. Pada gugusan pertama ada 20 bangku. Pada gugusan kedua ada 24 bangku. Pada gugusan ketiga ada 28 bangku, dan seterusnya. Berapa banyak dingklik dalam bioskop tersebut ?
Jawab
Diketahui :
n = 10
a = 20
b = 4
Ditanya : S10
Jawab :
Sn = ½ n (2a + (n – 1)b)
S10 = ½ 10 (2[20] + (10 – 1)4)
S10 = 5 (40 + 36)
S10 = 5 (76)
S10 = 385 bangku
Barisan aritmatika yaitu suatu barisan angka-angka dimana U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = … = Un – Un–1 = beda (merupakan angka yang tetap)
Sehingga :
(1) 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 yaitu barisan aritmatika dengan beda 4
(2) 63, 58, 53, 48, … , 3 yaitu barisan aritmatika dengan beda -5
(3) 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + … + 50 yaitu deret aritmatika dengan beda 3
(4) 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + … yaitu deret aritmatika tak hingga dengan beda 2
Jika suku pertama suatu barisan aritmatika dinamakan a, maka diperoleh:
Kaprikornus suku ke-n barisan aritmatika dirumuskan :
Un = a + (n – 1)b
Sebagai pola diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, …
Maka suku ke-6 sanggup ditentukan dengan rumus :
U6 = a + (6 – 1)b = a + (6)b = 3 + (6)4 = 27
Untuk memilih rumus jumlah hingga suku ke-n, sanggup ditentukan dengan cara:
Sn = ½ n (a + Un)
Sn = ½ n [2a+(n+1)b]
Sebagai pola diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Maka suku ke-6 sanggup ditentukan dengan rumus :
Maka suku ke-6 sanggup ditentukan dengan rumus :
S6 = ½ 6 (a + U6) = ½ 6 (3 + 27) = 90
atau
S6 = ½ 6 [2a+(6+1)b] = ½ 6 [2 . 3 + (8)4] = 90
Jika suatu barisasn aritmatika diketahui n ganjil, maka suku tengah sanggup ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
Ut = ½ (a + Un)
Sebagai pola diketahui barisan : 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …
Jika barisan tersebut diteruskan hingga 15 suku, maka suku tengahnya sanggup ditentukan dengan rumus
Ut = ½ (a + Un) = ½ [a + U15] = ½ [3 + (3 + (15 – 1)4)] = ½[6 + 56] = 31
Selanjutnya kita juga sanggup merumuskan kekerabatan antara Un dan Sn , yakni :
Un = Sn – Sn–1
Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah pola soal berikut ini:
1. Diketahui barisan aritmatika 2, 7, 12, 17, 22, … Tentukanlah suku ke 15
Jawab
a = 2
b = 5
n = 15
maka
U15 = a + (15 – 1)b
U15 = 2 + (14)5
U15 = 2 + 70
U15 = 72
2. Diketahui deret aritmatika 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + … , tentukanlah Jumlah hingga 13 suku pertama
Jawab
Diketahui 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …
Maka
a = 4
b = 3
n = 13
Sehingga:
S13 = ½ (13) [2a+(6+1)b] = ½ (13) [2 . 4 + (13)3] = ½ (13) [44] = 286
3. Suatu barisan aritmatika diketahui suku ke tiga yaitu 12 dan suku ke enam yaitu 27. Tentukanlah suku ke 9
Jawab
U3 = 12 → a + (3 – 1)b = 12 → a + 2b = 12 ………………………….. (1)
U6 = 27 → a + (6 – 1)b = 27 → a + 5b = 27 .. ….…………………….. (2)
Jadi
U9 = a + (9 – 1)b
U9 = 2 + (8)5
U9 = 42
4. Jika diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99 maka tentukanlah nilai x
Jawab
Diketahui 3 + 5 + 7 + 9 + … + x = 99
Maka :
a = 3
b = 5 – 3 = 2
Sn = 99
Sehingga:
Sn = ½ n [2a+(n+1)b]
99 = ½ n [ 2(3) + (n – 1)2 ]
198 = n [ 6 + 2n – 2 ]
198 = n [ 4 + 2n ]
198 = 4n + 2n2
2n2 + 4n – 198 = 0
n2 + 2n – 99 = 0
(n – 9)(n + 11) = 0
n = 9
Jadi
x = U9
x = a + (9 – 1)b
x = 3 + (8)2
x = 19
5. Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus Sn = 2n2 + 4n, maka tentukanlah suku ke 5
Jawab
Sn = 2n2 + 4n
Maka
S5 = 2(5)2 + 4(5) = 50 + 20 = 70
S4 = 2(4)2 + 4(4) = 32 + 16 = 48
Kaprikornus U5 = S5 – S4 = 70 – 48 = 22
6. Andi selalu menabung di bank secara rutin setiap awal bulan sebesear Rp. 200.000,-. Jika pada pertengahan Januari 2012, Andi telah mempunyai uang Rp. 600.000 di bank tersebut, maka berapakah banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember ?
Jawab
Diketahui :
a = 600.000
b = 200.000
n = 11 (Dari Februari 2012 hingga Desember 2112 )
Maka U11 = a + (11 – 1)b = 600000 + (10)200000 = 2.600.000
Kaprikornus banyaknya uang Andi pada pertengahan bulan Desember yaitu Rp. 2.600.000
7. Suatu bioskop mempunyai 10 gugusan bangku. Pada gugusan pertama ada 20 bangku. Pada gugusan kedua ada 24 bangku. Pada gugusan ketiga ada 28 bangku, dan seterusnya. Berapa banyak dingklik dalam bioskop tersebut ?
Jawab
Diketahui :
n = 10
a = 20
b = 4
Ditanya : S10
Jawab :
Sn = ½ n (2a + (n – 1)b)
S10 = ½ 10 (2[20] + (10 – 1)4)
S10 = 5 (40 + 36)
S10 = 5 (76)
S10 = 385 bangku